实验题目：二阶电路的时域仿真与实测分析

1. 课程简要信息

课程名称：（电路分析）
课程学时： 理论 $4 8 +$ 实验 16
项目学时：（共4学时，课内2学时、课外2学时）
适用专业：（自动化、通信工程、电子信息工程）
学生年级：（一年级、第二学期）
辅助教学系统：易派 EPI–EWB302+口袋实验室+线上交互平台
教学方式：线上线下混合式教学，翻转式课堂教学相结合

2. 实验内容与任务（限500字，可与“实验过程及要求”合并）

项目需要完成的任务（如需要观察的现象，分析某种现象的成因、需要解决的问题等）；是否设计有不同层次的任务。

含有两个储能元件的二阶电路，需要用二阶微分方程来描述。本实验案例针对线性时不变二阶电路的基本分析方法进行研究，深刻理解由 RLC元件组成的二阶电路不同动态响应的形式，包括无阻尼、欠阻尼、临界阻尼、过阻尼；理解二阶电路物理机理及与 RLC 元件参数之间的关系。

本实验案例具体任务：

1）研究二阶动态电路响应的特点，根据给定的二阶电路列写电路方程，对电路方程进行正确求解，根据解的结果确定电路动态响应的形式；
2） 学习二阶电路衰减系数、振荡频率的测量方法，了解电路参数对它们的影响；
3） 观察、分析二阶电路响应的三种变化曲线及其特点，加深对二阶电路响应的认识与理解；
4） 学习并掌握应用电路仿真软件进行二阶电路仿真和测试的方法；
5） 学习并掌握线上线下融合的新工科贯穿式口袋实验室虚拟仪器的使用，如万用表、信号源、示波器等。
6） 采用口袋实验室科易派 EPI–EWB302+构建实际测试环境，进行二阶电路实验板的测试，思考理论计算、软件仿真、实物测试之间存在误差的原因并设计修正实验。

3. 实验过程及要求（限300字）

如对学生在实验过程中在需求分析、资料查询、自学预习、思考讨论、方法设计、进程规划、软件仿真、平台构建、器件选择、表格设计、现象观察、数据测试、问题分析、总结报告、验收答辩、演讲交流等各方面的要求。

1） 于线上交互平台中进行实验预习。
2） 根据给定的二阶电路列写电路方程，对电路方程进行理论求解；
3） 用 Multisim仿真工具绘出二阶电路，观测电路参数对二阶电路衰减系数、振荡频率的影响；
4） 测量仿真结果中二阶电路衰减系数、振荡频率，分析误差原因；
5） 采用口袋实验室科易派 EPI–EWB302+构建实际测试环境，进行二阶电路实验板的测试，学习信号源、示波器、万用表等仪表的使用；
6） 观察实际电路参数对二阶电路衰减系数、振荡频率的影响，分析误差原因；
7） 对比 Multisim 仿真结果与实验板实测结果之间的联系和区别，思考仿真结果与实测结果之间存在差别的原因，设计修正实验并验证；

8）根据实验观测结果，定性描绘出过阻尼、临界阻尼、欠阻尼三种状态的过渡过程波形图；
9）撰写实验总结报告，完成思考题并在线提交。

4. 相关知识及背景（限150字）

项目涉及所需的知识方法、实践技能、应用背景、工程案例。

在一个动态网络中，若同时有两个性质独立的储能元件 L 和 C 存在，则这个动态电路称为二阶电路。本实验案例借助 EDA 仿真辅助分析二阶系统在欠阻尼、临界阻尼、过阻尼情况下的电路响应，通过口袋实验室科易派EPI–EWB302+构建实际测试环境进行二阶电路实验板的测试，从而深刻理解二阶电路物理机理及与 RLC 元件参数之间的关系。

5. 实验环境条件

项目实施需要实验资源，包括实验装置功能、实验仪器设备、设计软件工具、主要电子元器件等。

项目的 EDA仿真部分采用 Multisim仿真软件；

项目的实物测试部分采用线上线下融合的新工科贯穿式口袋实验室 EPI–EWB302+，如图 1所示。

图 1 口袋实验室 EPI–EWB302+十二合一虚拟仪器

同时本实验项目采用线上实验报告的无纸化教学方式，口袋实验交互平台用于线上提交实验报告，如图 2 所示。

图 2 口袋实验交互平台

6. 教学目标与目的（限150字）

如学习、运用知识、技术、方法等；培养、提升技能、能力、素质等。在一个比较完整的理论分析与实物测试验证相结合的实验过程中引导学生了解现代EDA仿

真辅助设计在电路分析中的应用，掌握线上线下融合的新工科贯穿式口袋实验室虚拟仪器的使用，理解二阶电路微分方程的建立过程，理解二阶电路的过阻尼，临界阻尼，欠阻尼，振荡与非振荡的不同状态。

7. 教学设计与实施进程

课堂知识讲解、方法引导、背景解释；实验中的方法指导，问题设置、思路引导等。教学模式、实验渠道、研讨主题、观察节点、验收重点、质询问题等方面设计等。实验实施进程的各个环节（如任务安排、预习自学、现场教学、分组研讨、现场操作、结果验收、总结演讲、报告批改等）中教学设计的思路、目的，教师、学生各自需要完成的工作任务，需要关注的重点与细节。

本实验作为《电路分析实验》中的一个项目，首先在线上发布预习课件，根据预习课件对理论知识进行回顾，通过引入汽车点火电路实际工程实例，引导学生探索二阶动态电路的工作原理和应用。本实验的过程是一个比较完整的理论分析与实物测试验证相结合的过程，需要经历学习研究、软件仿真、实物测试、结果分析、思考总结等过程。在实验教学中，应在以下几个方面加强对学生的引导：

1）给出实验目的：理解二阶电路微分方程的建立过程，理解二阶电路的过阻尼，临界阻尼，欠阻尼，振荡与非振荡的不同状态。
2）掌握根据给定的二阶电路参数列写电路方程，并对电路方程进行理论求解的方法。
3） 掌握采用现代 EDA 仿真辅助设计软件 Multisim 仿真软件绘出二阶电路，通过仿真观测电路参数对二阶电路衰减系数、振荡频率的影响。
4） 掌握采用口袋实验室科易派 EPI–EWB302+构建实际测试环境的方法和步骤，进行二阶电路实验板的测试，学习信号源、示波器、万用表等虚拟仪表的使用。
5） 在理论计算、仿真结果、实测结果完成后，需要对仿真结果和实测结果中的误差进行分析。
6）在找到误差原因后，引导学生设计误差修正实验，培养学生的电路分析与设计能力和工程思维能力。
7） 帮助学生建立用数学思维模式来描述和解决工程问题的工程意识，将学习的知识体系做到前后贯通，立体关联，提升学生的科学素养，掌握正确的学习方法和思维方法，培养学生逻辑思维与辩证思维能力，形成科学的世界观和方法论，促进学生身心和人格健康发展。

在实验中，要注意学生实验的规范性；如理论计算的严谨；仿真模型的准确性；在测试分析中，要分析系统的误差来源并设计修正实验加以验证。

8. 实验原理及方案

实验的基本原理、设计依据、完成任务的思路方法，可能采用的方法、技术、电路、器件。

一、实验原理：

1．二阶电路

在一个动态网络中，若同时有两个性质独立的储能元件 L 和 C 存在，则这个可以用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。

对于一个二阶电路，典型的 RLC 串联电路（图 3 所示），无论是零输入响应还是零状态响应，电路过渡过程的性质都完全由特征方程

的特征根

图 3 二阶电路

$$ L C p ^ { 2 } + R C p + 1 = 0 $$

$$ p _ { 1 , 2 } = - \frac { R } { 2 L } \pm \sqrt { \left( \frac { R } { 2 L } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { L C } } $$

来决定。

该特征根是二阶常系数齐次微分方程，所以该电路被称为二阶电路。一般分三种情况来分析：

（1） $R > 2 { \sqrt { \frac { L } { C } } }$

$p _ { 1 , 2 }$ 是两个不相等的负实根。电路过渡过程的性质是过阻尼的非振荡过程。响应是单调的。波形如图 4 所示。

图 4 过阻尼状态变化曲线图

图 5 临界阻尼状态变化曲线

$R = 2 { \sqrt { \frac { L } { C } } }$

$p _ { 1 , 2 }$ 是两个相等的负实根。电路过渡过程的性质是临界阻尼过程。响应处于振荡与非振荡的临界点上。其本质属于非周期暂态过程。波形如图 5 所示。

$R < 2 { \sqrt { \frac { L } { C } } }$

$p _ { 1 , 2 }$ 是一对共扼复根。零输入响应中的电压、电流具有衰减振荡的特点，称为欠阻尼状态。此时，相应的数学表达式为

$$ u _ { c } \left( t \right) = e ^ { - \delta t } ( K _ { 1 } \cos \omega _ { d } t + K _ { 2 } \sin \omega _ { d } t ) = k e ^ { - \delta t } \cos \left( \omega _ { d } t + \varphi \right) $$

$$ \omega _ { d } = \sqrt { \frac { 1 } { L C } - \left( \frac { R } { 2 L } \right) ^ { 2 } } = \sqrt { { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } } \ , \delta = \frac { R } { 2 L } \ , \omega _ { 0 } = \frac { 1 } { \sqrt { L C } } $$

δ是衰减系数，通常是一个正实数， $\omega _ { \mathrm { d } }$ 是衰减振荡角频率，δ越大衰减越快， $\omega _ { \mathrm { d } }$ 越高振荡周期越小。若电路中电阻为零，就成为等幅振荡，即

$$ \omega _ { d } \big | _ { R = 0 } = \omega _ { 0 } = \frac { 1 } { \sqrt { L C } } $$

$u _ { c } ( t )$ 的欠阻尼过渡过程如图6所示。 $u _ { L } \left( t \right)$ 的欠阻尼过渡过程与 $u _ { c } ( t )$ 相似。（当 $\mathrm { R } \to 0$ 时， $u _ { c } ( t )$ 就变得与 $u _ { \scriptscriptstyle L } \left( t \right)$ 完全一样而且是等幅振荡了）。

图 6 欠阻尼状态变化曲线

图 7 串联电路接至方波激励的衰减振荡的波形

2．欠阻尼状态下的衰减系数δ和振荡角频率 $\omega _ { \mathrm { d } }$

可以通过示波器观测电容电压的波形求得。R、L、C 串联电路接至方波激励时，呈现衰减振荡暂态过程的波形如图 7 所示。

由图可见，相邻两个最大值的间距为振荡周期 $T _ { \mathrm { d } }$ ，由此计算振荡周期为

$$ T _ { d } = m \frac { T } { n } $$

式中， $m$ －振荡周期 $T _ { \mathrm { d } }$ 所占格数； $n$ －方波周期 $T$ 所占格数。

振荡角频率为

$$ \omega _ { d } = 2 \pi f _ { d } = \frac { 2 \pi } { T _ { d } } $$

衰减系数为

$$ \delta = \frac { 1 } { T _ { d } } \ln \frac { h _ { 1 } } { h _ { 2 } } $$

$T _ { \mathrm { d } }$ 也可在示波器上直接读出，即 $\mathrm { T } _ { \mathrm { d } } = \mathbf { k } \times \mathbf { m } \circ \mathrm { ~ k ~ }$ 为 T/div 扫描速率开关所在档的读数，即表示每格所占的时间。

二、实验方案：

实验预习部分，通过口袋实验线上交互平台发布关于二阶电路应用的一个实例：分析实际汽车点火系统的电压发生部分，其简化电路模型中既含有电源（汽车蓄电池）、电阻（系统导线）、电感（点火线圈）、开关（电子点火器），还有电容（汽车电容），从而构成 RLC 电路，那么系统是如何工作，实现汽车点火的呢？通过实际的工程实例激发学生对于学习二阶系统动态电路的兴趣和积极性。

1. 仿真实验（线上环节，2 课时）

用 Multisim 仿真工具绘出图 8 所示电路，把电容值 C 设定为 $0 . 1 \textrm { \textmu F }$ ，电感值 L 设定为 $4 7 \mathrm { m H }$ ，电容和电感的初始条件参数均设为 0（即默认值），电阻 R 分别设为 0Ω、300Ω、1370Ω、 $2 5 0 0 \Omega$ ，方波信号源参数设定为：重复频率 ${ . = } 5 0 \mathrm { H z }$ ，占空比 $= 5 0 %$ ，电压幅度 $\mathrm { \hbar } = 2 \mathrm { V }$ 。用瞬态分析法选定结点 3、6、9和 12进行分析，即电阻为不同取值时候对二阶电路的零状态响应和零输入响应的影响。

图 8 电阻为不同取值时二阶电路的仿真

仿真执行方法如下：

执行 Simulate/Analysis/Transient Analysis 命令。在弹出的 Analysis Parameters 对话框中把 Starttime（起始时间）设为 0，End time（结束时间）设为 0.02（即 $2 0 \mathrm { m s }$ ），其余按默认值。然后点击Simulate 按钮即可给出仿真曲线。曲线的前半部分是零状态响应，后半部分是零输入响应。

分析仿真曲线属于什么状态（欠阻尼、临界阻尼还是过阻尼），并与计算值比较。

$\scriptstyle \mathrm { R } = 3 0 0 \Omega$

R=0Ω

R=1370Ω

如果是欠阻尼振荡形，使用示波器测量振荡角频率 $\omega _ { \mathrm { d } }$ 、衰减系数δ，与理论计算值比较并填入表1（过阻尼和临界阻尼不用）。

表 1 （ $\mathrm { { \Delta } J = } 4 7 \mathrm { { m H } }$ 、 $\mathrm { C = 0 . 1 ~ \mu \ F }$ ）二阶电路暂态过程仿真的研究

2. 实物测试实验（线下环节，2课时）

在图 10所示线路接入方波信号源参数，按照图 11设定为：重复频率 ${ = } 5 0 \mathrm { H z }$ ，占空比 $= 5 0 %$ ，电压幅度 $\scriptstyle - 2 \mathrm { V }$ 。调节可变电阻 RL 的值分别为 0Ω、 $3 0 0 \Omega$ 、1370Ω、 $2 5 0 0 \Omega$ ，通过虚拟仪器当中的示波器观测在电阻为不同取值情况下电容两端的电压响应的波形，记录在表 2 中。

图 9R 取不同值时的仿真结果
图 10 EPI – EWB302+口袋实验室实测环境搭建

图 11 正弦信号源参数设定

表 2 （ $\mathrm { L } { = } 4 7 \mathrm { m H }$ 、 $\mathrm { C { = } 0 . 1 ~ \mu \Gamma }$ ）二阶电路暂态过程波形实测通过实物测试发现，当 $\mathrm { R } { = } 0$ 时，理论上无阻尼电路的情况在实际工程当中是不可能存在的。

图 12 $\scriptstyle \mathrm { R = } 0$ 和 $\mathrm { R } { = } 3 0 0$ 情况下的实测结果

究其原因，虽然电感线圈在做理想化分析时是作为一个纯电感元件进行电路分析，但是在实际工程中，电感线圈是由绕组绕制而成，线圈匝数很多，较长的线路必然有电阻。因此，采用 EPI–EWB302+口袋实验室的万用表测量电感线圈的电阻 $\mathrm { R _ { L } }$ ，将此电阻值修正到 RLC 串联回路中，进行 $\mathrm { R } { = } 0 { + } \mathrm { R } _ { \mathrm { L } }$ 和$\mathrm { R } { = } 3 0 0 { + } \mathrm { R _ { L } }$ 时的 Multisim仿真。同时，电容的实际值也与标称值之间存在误差，用口袋仪器上的万用表测量电路板上实际的电容值，并依据 Multisim仿真结果与实测结果，计算振荡角频率 $\omega _ { \mathrm { d } }$ 和衰减系数δ，并于表 3 中记录测试结果。

表 3 （ $\mathrm { L } { = } 4 7 \mathrm { m H }$ 、 $\mathrm { C { = } 0 . 1 ~ \mu \Gamma }$ ）二阶电路暂态过程实测的研究

图 13 当 $\mathrm { R } { = } 3 0 0 { + } \mathrm { R } _ { \mathrm { L } }$ 时的 Multisim 仿真结果

为培养学生逻辑思维与辩证思维能力，引导学生讨论分析实测与理论误差较大的原因。完成线上仿真和线下测试内容后，结合实验内容，对学生进行工程实践教育和课程思证教育，提升学生的科学素养，掌握正确的学习方法和思维方法，形成科学的世界观和方法论，促进学生身心和人格健康发展。

9. 实验报告要求

需要学生在实验报告中反映的工作（如：实验需求分析、实现方案论证、理论推导计算、设计仿真分析、电路参数选择、实验过程设计、数据测量记录、数据处理分析、实验结果总结等等），如：

实验报告需要反映以下工作：

1）回答思考题。

（1）二阶动态电路为什么会出现振荡？（2）当二阶动态电路处于过阻尼状态时，若再增加 R 的阻值，对过渡过程有何影响？当电路处于欠阻尼状态时，若再减小 R 的阻值，对过渡过程有何影响？
2） 写出各理论值计算过程。
3） 根据实验观测结果，定性描绘出过阻尼、临界阻尼、欠阻尼三种状态的过渡过程波形图。
4） 根据仿真实验观测结果，填写表 1，与理论计算结果作比较，分析误差原因。
5） 根据实测实验观测结果，填写表 2，与理论计算结果作比较，分析误差原因。
6） 根据理论与实测的误差原理，设计修正实验，重新进行仿真验证，与实测结果进行对比，分析误差原因。
7） 实验数据记录。
8） 数据处理分析。
9） 实验报告。实验报告采用无纸化提交报告形式，同时也将学生的更多精力用在实验总结和课后的拓展提高，实验数据的可视化平台能够充分调动学生的积极性。

10.考核要求与方法（限300字）

考核的节点、时间、标准及考核方法。

本实验采用过程考核的打分方式，根据学生在实验不同阶段的表现，结合线上课程监管平台，给出综合性评分。

1）预习环节：对实际汽车点火系统的电压发生部分电路的分析思路及答案的条理性。
2）仿真测试环节：包括二阶电路不同动态响应形式的理论计算和仿真结果分析，包括无阻尼、欠阻尼、临界阻尼、过阻尼。
3）实际测试环节：考查学生对于 EPI-EWB302+口袋实验室实测环境的搭建、电路的连接、信号源的参数设置、滤波器测试结果的观测。
4） 课堂表现：预习情况、到课情况、课堂讨论等情况等，口袋实验交互平台可对学生上课情况进行实时监控，教师能够实时掌握学生上课情况，有利于提高教学质量。
5） 实验完成质量：包括线上和线下实验数据的正确性和实验完成时间等。
6） 自主创新：仿真与实测相结合进行电路分析的创新性，自主思考与独立实践能力。
7） 实验数据：理论数据和仿真数据、测量数据之间的误差分析。
8） 实验报告：实验数据正确率，实验总结部分内容是否正确充实，结构是否清晰合理，格式是否统一标准，实验报告的规范性与完整性。

11. 项目特色或创新（可空缺，限 150字）

（1）在理论分析的基础上，通过 Multisim 仿真使学生增加对二阶动态电路的感性认识；

（2）采用 EPI-EWB302+口袋实验室将课程教学与学生课外科技活动紧密联系，有效培养学生随时随地学习和动手实践创新的能力；

（3）翻转式课堂教学使学生和老师的交流反馈更加及时有效，调动学生积极性；

（4）通过实测与理论之间的差异为突破点，引导学生在实验中修正实测与理论的偏差，培养了学生利用仿真软件进行电路仿真设计，利用仪器测量验证，拓宽了学生的知识面，使理论与实践得到统一；

（5）通过工程实例的引入，使学生在学习专业知识的同时建立工程意识，帮助学生建立利用数学思维模式描述和解决工程实际问题的意识。