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实验题目：傅里叶级数大揭秘--方波信号分解与合成

课程简要信息

课程名称：信号与系统

课程学时： 56学时

项目学时： 4学时（课堂）+ 2学时（课前）

适用专业：电子信息工程、自动化

学生年级：大二上学期

实验内容与任务（限500字，可与“实验过程及要求”合并）

本实验项目基于“理论分析+仿真验证+实物测试”实验教学理念，依托电子技术综合实验室，是面向电子信息、自动化专业的学生开设的多模块、多方案的综合性和设计性实验。

实验内容：

首先，使用Matlab软件对方波信号的分解与合成进行理论仿真验证。然后设计制作一个电路，从给定的方波信号（峰峰值分别为2V、1V，频率分别为3kHz、9kHz）中分解出基波分量,并经移相电路使两基波信号相位相同，再经模拟信号调理电路将基波的峰峰值调整为6V和2V,最后经信号合成电路得到如图1所示的合成波形。

本实验分为四个子项目：Matlab仿真实验；滤波器设计；模拟信号调理电路设计；移相电路和信号合成电路设计。

图1 合成波形

实验具体任务：

利用Simulink搭建模型，验证方波信号分解与合成理论。
设计滤波器，将方波信号（峰峰值分别为2V、1V，频率分别为3kHz、9kHz）的基波分解出来，得到无明显失真的正弦信号。
设计移相电路，使得（2）中分解得到的两路基波信号的相位相同；
设计模拟信号调理电路，将（3）中两路基波信号的峰峰值调整为6V和2V；
将（4）中的两路信号合成，得到峰峰值为5V的近似方波；
利用Multisim仿真软件，完成（2）、（3）、（4）、（5）中设计电路的仿真验证；并完成电路制作；
测试并分析实验现象。

实验过程及要求（限300字）

理解信号分解与合成原理，掌握实验设计步骤；
掌握利用Matlab实现信号分解与合成的仿真方法；
掌握滤波器、模拟信号调理电路、移相电路、合成电路的设计方法；
根据理论推导，确定电路结构及参数，修改方案，讨论其优缺点，并最终确定电路相关参数；
使用Multisim仿真软件完成电路的设计和仿真，并设计测试方案，验证设计的正确性；
根据仿真电路图搭建实际电路，开展实验，完成规定的实验任务、记录实验并分析实验结果；
组织学习交流，分析实验心得；
撰写实验报告；

实验环境条件

（1）仪器设备

计算机PC、电子技术实验台、示波器、万用表、直流电源、电烙铁。

（2）软件

Matlab软件、电路设计仿真软件Multisim。

（3）主要元器件

电阻、电容、电感、运放等。

（4）实验室

电子技术综合实验室（开放）。

教学目标与目的（限150字）

在“项目式”实验教学实施过程中引导学生熟练掌握Matlab仿真设计方法、滤波器的设计方法、典型的信号调理电路，深刻理解信号分解与合成的原理；培养学生综合运用理论知识，搭建实际电路和工程实践的能力，掌握“理论+仿真+实践”的研究方法；积极响应国家政策、方针，培养社会需要的建设者和社会主义合格接班人。

教学设计与实施进程

本实验是一个串联起电子信息类专业多门课程中多个知识点的“多模块”综合性设计实验，通过实验既可使学生掌握“理论+仿真+实践”的研究方法，也可使学生建立起工程项目的概念、熟悉规范的设计流程，经历学习研究、方案论证、参数选择、电路设计、仿真验证、电路搭建、实验调试、设计总结等完整过程。

此实验项目具有较强的综合性，针对大二上学期学生的知识储备及循序渐进的原则，将此实验分为四个子实验：第一个子实验为使用Matlab软件对方波信号的分解与合成进行仿真；第二个子实验为滤波器设计；第三个子实验为模拟信号调理电路、移相电路设计；第四个实验为周期信号分解与合成实验。每个子实验1个课堂学时，包括课前任务布置、课中知识点讲授、仿真设计优化、电路搭建与调试、测试验收、撰写报告。

一、教学设计
教学环节	环节行为
1.实验前	1）讲授实验任务，了解工程项目设计流程，历经查阅文献、项目分解、方案论证、方案设计、电路设计与仿真优化、电路搭试、实验测试、设计总结等过程； 2）讲授方波信号的分解与合成原理，同时使用matlab软件进行仿真，让学生直观感受方波信号的分解与合成，了解方波的频域特性，如图2为频率1kHz的周期性方波信号的频谱图。图2 方波信号的频谱 3）讲授滤波器设计、典型的模拟信号调理电路。 4）讲授实验测试记录表格设计，实验报告撰写的注意事项。
2.实验中	1）确定实验项目的单元模块划分，结合理论计算，确定各单元电路实现方案。 2）确定方案后，指导运用Multisim仿真软件进行电路的设计与仿真；滤波电路、模拟信号调理电路采用理论计算与Multisim仿真相结合的方式进行设计及优化改进； 3）根据电路仿真结果进行实际电路搭建与制作。将设计图转换为实际电路时，注意合理布局布线，要便于调试、测量和更换，电路图中相邻原件安装时原则上应距近放置，正确设置地线和电源线，保证电路的电气连接效果及美观。 4）进行电路测试及参数修正。分级测试个单元电路的输出波形或幅值是否合理，完成误差、波形失真度等参数标定后，分析其原因并加以论证，然后进行电路参数的修正，以完善设计的电路。 5）实验项目验收时必须使用实验室的仪器设备进行功能演示。学生需掌握实验室的数字示波器、信号发生器、直流电源、万用表等仪器的使用。 6）学有余力的同学可以增加分离出方波五次谐波、七次谐波，然后合成，观察合成波形；
3.实验后	1）组织学生交流讨论，撰写实验感想，择优在学习交流群（学习通）中发布，便于同学间的学习、交流和讨论。 2）按照要求撰写实验报告，包括方案设计、电路设计与仿真优化、电路搭试、实验测试、设计总结等，并按时提交实验报告。
二、实施过程
实施环节	环节行为
1.任务发布前	教师首先对实验项目进行试做（理论分析、仿真验证、电路设计与优化、搭建测试），然后对实验项目中需要调整的电路结构及元件参数进行规划布置。
2.任务发布	1）向所有同学布置针对实验任务的资料文献、相关参考教材，同时在学习交流群（学习通）发布课件、元器件资料和相关软件包等。 2）发给学生电阻、电容、运放等电子元器件。 3）提供相关教学视频。
3.实验教学	1）回顾周期信号傅利叶级数展开与合成的原理。讲授实验教学的模块分解，项目实施总体方案，各模块的参考原理图； 2）讲授使用Matlab开展信号分解与合成仿真实验； 3）讲授使用Multisim仿真软件进行电路设计及使用注意事项；实物电路的搭建及调试； 4）讲授实验室注意事项和实验安全准则。
4.学生实验	1）学生利用Matlab软件对方波信号的分解与合成进行仿真； 2）根据题目要求进行分析，进行理论计算，确定实验方案； 3）在Multisim软件上进行电路仿真，分析完善电路，老师检查仿真图及仿真结果； 4）学生根据仿真结果进行电路实物搭建和调试； 5）利用实验室仪器设备进行测试，边测量、边记录、边分析；
5.教师验收	1）检查Matlab仿真结果是否正确； 2）测试电路功能及指标是否达到既定要求； 3）组织学生讨论方案的优缺点；
6.提交报告	学生提交实验报告，教师批改实验报告，分析学生实验完成情况。
7.实验总结	学生总结在实验过程中的收获，择优在学习交流群（学习通）中发布，便于同学间的学习、交流和讨论。

实验原理及方案

（一）信号分解与合成仿真实验

利用Matlab进行仿真，观察信号分解后的谐波波形及谐波叠加后合成波形。方波信号如图3所示，其中周期T=1s，幅值A=1。

图3 周期性方波信号

仿真时使用matlab自带工具fdatool设计滤波器，然后将滤波器导出到simulink中，搭建用于方波分解的滤波电路，然后通过虚拟示波器观察滤波器输出的谐波波形。再直接将谐波相加即可观察到谐波合成波形。信号分解与合成simulink仿真模型如图4所示。

图4 simulink仿真模型

（1）信号分解

先对方波信号分解进行仿真，滤波器输出波形如图5所示，可以看出该方波分解为奇次谐波正弦项，且奇次谐波正弦项的幅度值随着谐波次数的增加逐渐减小，与理论结果一致。

图5 方波信号的分解

（2）信号合成

利用1）中信号分解得到的谐波信号合成方波信号。图6为使用方波信号的基波、三次谐波、五次谐波、七次谐波合成的方波信号，可以看出所取谐波越多，合成波形越接近方波。

图6 方波信号前k次谐波合成

（二）实物设计与实现

本实验需要用到滤波器、信号调理电路、移相电路、信号合成电路等，集成运放选择0P07运算放大器。

（1）系统框图

系统框图如图7。滤波器选用带通滤波器或低通滤波器；信号调理电路1的输出峰峰值为6V，信号调理电路2的输出峰峰值为2V；信号合成采用加法器。

图7 系统框图

（2）设计流程图

学生实验（设计）过程如下图8所示。

图8 设计流程图

（3）项目实施方案

本实验具有多模块特点，学生可根据自己掌握的知识和对项目的理解采用不同的方案。下面给出三种参考设计方案。

1）方案一：无源带通滤波+谐波0~180°超前移相+同相比例放大+反相加法器，如图9所示。

图9 参考方案一

2）方案二：无源带通滤波+谐波0~180°滞后移相+反相比例放大+同相加法器，如图10所示。

图 10 参考方案二

3）方案三：有源低通滤波+谐波0~180°滞后移相+同相比例放大+反相加法器，如图11所示。

图11 参考方案三

以上三种方案都能够满足本实验项目的要求，其中方案一由无源带通滤波+谐波0~180°超前移相+同相比例放大+反相加法器组成，电路结构相对简单且易理解，课堂上建议学生使用。

（4）典型电路模块设计（参考）

1）滤波器

滤波器的作用是从给定的方波信号中分解出基波信号。常用滤波器包括有源滤波器和无源滤波器。

a）RLC无源滤波器

RLC无源滤波器是一种带通滤波器，滤波器设计过程中，需要确定带通滤波器的中心频率、带宽等参数，同时需要考虑实验室已有的电容、电感、电阻及其误差。电路仿真图如图12所示，经过RLC带通滤波器，从方波中分解出3kHz和9kHz的基波信号。

图12 RLC带通滤波器仿真图

b）压控电压源有源滤波器

压控电压源有源滤波器是一种二阶低通滤波器，在滤波器的设计过程中，需要确定滤波器的截止频率、衰减速率等参数。电路仿真图如图13所示。

图13 压控电压源有源滤波器仿真图

2）移相电路

移相电路的作用是将9kHz的谐波信号进行移相，使得3kHz和9kHz信号的相位相同，以便后续的信号合成。常用的移相方法包括超前移相和滞后移相。

a）谐波0~180°超前移相

谐波超前移相电路能够在0~180°范围内进行信号移相，电路结构如图14所示。

图14 超前移相电路原理及仿真效果图

b）谐波0~180°滞后移相

谐波滞后移相电路能够在0~180°范围内进行滞后移相，电路结构如图15所示。

图15 滞后移相电路原理及仿真效果图

3）信号调理电路

信号调理电路的作用是对输入电压信号进行放大。常用的放大电路有同相比例放大器和反相比例放大器。

a）3kHz调理电路

信号调理电路输入信号峰峰值在2.55V左右，需要通过调理电路将其放大至峰峰值为6V。

i）同相比例放大

图16 3kHz信号调理电路及仿真效果图1

ii）反相比例放大

图17 3kHz信号调理电路及仿真效果图2

b）9kHz调理电路

图18中输入信号峰峰值在1.27V左右，通过信号调理电路将其放大至峰峰值为2V。

i）同相比例放大

图18 KHz信号调理电路及仿真效果图1

ii）反相比例放大

图19 9kHz信号调理电路及仿真效果图2

同相比例放大器输入阻抗大，输出阻抗小，带负载能力强；而反相比例放大器输入阻抗和输出阻抗都较小。因此，建议学生选用同相比例放大器。

4)信号合成

信号合成电路将经调理电路放大后的两路信号进行叠加。常用的合成电路包括反相加法器和同相加法器。

a）反相加法器

反相加法器电路如图20所示。反相加法器输入阻抗小，输出阻抗大，输出与输入信号同相位。

图20反相加法电路及仿真效果图

b）同相加法器

同相加法器电路如图21所示。同相加法器的输入阻抗大，输出阻抗小，输出与输入信号相位相反。

图21 同相加法电路及仿真效果图

建议学生选用反相加法器。

（5）系统测试

搭建电路并测试，方波信号由信号发生器输出，合成信号通过示波器进行显示，结果如图22所示。

图22 测试效果

实验报告要求

实验报告需要反应以下工作：

实验需求分析

实验要求和实验目的；

方案论证

查阅相关文献，确定系统总体方案和各单元模块具体设计方案。

理论推导与仿真设计

理论推导结合软件仿真设计，确定各单元模块的元件参数。

电路搭试
电路测试方法

利用实验室的仪器设备对电路进行测试。

实验数据记录

根据实验要求自拟表格，记录实验数据，包括仿真波形和实际测试波形。

数据处理分析

对原始数据进行分析和处理

实验结果总结

对比分析仿真和实测结果之间的差异，给出可能的原因。

考核要求与方法（限300字）

多节点、贯穿式的考核方式。

本实验项目主要考核点设置如下：

1）能够根据实验任务要求确定方案（25分）

能够根据实验任务要求，通过查阅相关资料和理论计算，确定系统总体方案和各单元模块的技术方案。此处主要考察学生的文献资料阅读能力、自主研究能力和系统方案设计能力。

2）掌握基本电路设计、搭建和调试能力（35分）

学生能够根据实验任务要求，搭试规范的实验电路，并检查和排除故障。此处主要考察学生电路设计的创新性、布局布线的合理性；故障分析、排查能力。

3）实验结果的分析以及实验报告的撰写（25分）

要求学生掌握实验结果的处理方法和实验报告的撰写规范。此处主要考察学生实验结果分析、处理能力和实验报告的规范性和合理性。

4）现场问题（15分）

项目特色或创新（可空缺，限150字）

（1）验证型实验，设计着做

将验证型的随课实验变为设计型实验，给予学生足够的自主设计权利，激发学生的兴趣，同时可以实现实验电路的多样化，以及实现分层次的教与学、

（2）单一性实验，综合考察

“多模块、多课程结合”。在教学内容上涉及多门课程，实验综合性强，有利于锻炼学生利用所学知识解决综合问题的能力。

附件1：

实验报告（部分）

附件2：实验现场及测试

傅里叶级数大揭秘--方波信号分解与合成