实验题目：周期信号的频谱分析与脉冲雷达测速

1. 课程简要信息

课程名称：信号与系统

课程学时：64学时

项目学时：课内 2 学时、课外 4 学时

适用专业：电子信息工程、通信工程、电子工程等

学生年级：大二春季学期

2. 实验内容与任务（限 500 字）

2.1 验证性实验

（1）仿真实验

利用自研的“《信号与系统》周期信号频谱分析演示软件”完成：

1）通过方波信号合成分析吉布斯现象；

2）分析周期矩形脉冲信号时域参数对频谱的影响；

3）演示并分析电话按键音的时域、频域波形。

（2）硬件实验

利用硬件实验箱完成：

1）观察并测量周期方波的各次谐波，分析谐波特点；

2）观察并测量周期三角波、正弦波信号的各次谐波，分析谐波的特点并与方波信号进行对比；

3）观察并测量占空比分别为 $2 5 %$ 和 $7 5 %$ 的周期矩形脉冲信号的各次谐波，分析谐波特点；

4）利用周期方波信号的各次谐波实现信号合成，记录合成波形并分析谐波对波形合成的影响；

5）改变周期方波信号各次谐波的相位，分析相位对波形合成的影响。

2.2 综合性实验

结合 MATLAB 仿真、头歌实践教学平台（https://www.educoder.net/）和实验雷达：

（1）分析含多个矩形脉冲的脉冲串信号（脉冲雷达波形）的频谱；
（2）分析脉冲串时域参数对频谱的影响；
（3）建立运动目标回波模型，分析回波信号的频谱；
（4）解算目标个数、测量目标径向速度，分析速度分辨率。

2.3 设计性实验

（1）根据给定的最大不模糊速度，设计脉冲重复频率；

（2）多普勒模糊条件下，设计参差重频波形和不模糊测速方法。

3. 实验过程及要求（限 300字）

（1）验证性实验

首先利用自研软件开展周期方波、三角波等信号的合成与分解实验，分析谐波特点，计算跳变点处的过冲值，分析电话按键音的时域和频域关系。理解硬件实验的设计思路，比对各次谐波的测量值与理论值，分析误差产生的原因并减少测量误差，掌握使用示波器测量、存储信号的方法。

（2）综合性实验

建立脉冲雷达测速的信号模型，分析发射和接收信号的频谱，根据频谱测算目标参数，比对实验结果和理论结果，分析发射信号与测速性能（分辨率）的定量关系。

（3）设计性实验

根据最大不模糊速度（如 $3 4 0 \mathrm { m / s } $ ），设计脉冲重复频率；脉冲重复频率不满足不模糊测速条件下，设计参差重频波形和不模糊测速方法。

4. 相关知识及背景（限 150 字）

这是一个运用数字和模拟技术实现信号分析和设计的典型案例。通过数字滤波器组提取周期信号的各次谐波，并运用数字加法器实现各次谐波的相位改变、叠加。该实验需要用到模数/数模转换、傅里叶级数/变换、滤波器、雷达测速等相关知识与技术方法。并涉及测量仪器使用、MATLAB 编程、仿真与硬件实现对比等工程概念和方法。

5. 实验环境条件

（1）信号与系统实验箱 一台 信号源模块和数字信号处理模块
（2）双踪示波器 一台
（3）安装 MATLAB 的电脑 一台
（4）小型雷达 一部

6. 教学目标与目的（限 150 字）

（1）通过观察不同周期信号的谐波加深学生对傅里叶级数、频谱等的理解；（2）掌握脉冲体制测速雷达发射和接收信号的频谱分析方法、测速方法；（3）硬件实验和仿真实验相对照，培养学生编程仿真和工程实践能力，引导学生理解仿真模拟、

硬件实现两种研究范式。

（4）通过综合性和设计性实验培养学生解决实际问题的能力。

7. 教学设计与实施进程

7.1 课堂教学设计

（1）课堂引入

从学员们熟悉的校园雷达机动车测速切入，引申到脉冲雷达对飞机等军事目标的测速。提出本次课要探究的问题：雷达是如何实现测速的？

图1 测速雷达示意图

（2）多普勒测速原理

通过动画演示多普勒效应，目标和雷达的相对运动导致雷达发射和接收信号的频率发生变化，频率差正比于目标和雷达相对速度、反比于雷达波长。因此，测速的关键是获得发射和接收信号的频率差。

图2 多普勒测速原理

（3）单频正弦波、周期矩形脉冲信号和雷达脉冲串波形

介绍并演示单频正弦波、周期矩形脉冲信号和雷达脉冲串波形。介绍周期信号合成与分解的实验方法。之后引导学生研讨多个矩形脉冲串信号频谱特性。

（4）连续波雷达测速和脉冲雷达测速

推导运动目标的单频连续波雷达回波模型：

$$ r ( t ) = A G _ { _ { T } } ( t - t _ { 0 } ) \cdot \cos \left( ( \omega _ { _ { 0 } } + \omega _ { _ { d } } ) t - \omega _ { _ { 0 } } t _ { 0 } \right) $$

中 d $\omega _ { d } = \frac { 2 \nu } { c } \omega _ { 0 }$ 是目标运动造成的多普勒频移，一般情况下 $\omega _ { d } < < \omega _ { 0 }$ 。由于雷达回波的载频 $\omega _ { 0 }$ 行且是精确已知的，接收机通过解调处理获得基带信号。

图3 雷达回波的解调处理框图

经过解调处理后的基带信号表达式为：

$$ y ( t ) = A G _ { T } ( t - t _ { 0 } ) \cdot \cos \left( \omega _ { d } t + \varphi _ { 0 } \right) $$

其中 $\varphi _ { \mathrm { 0 } } = - \omega _ { \mathrm { 0 } } t _ { \mathrm { 0 } }$ 是回波延迟引起的相位，它不影响对目标速度的测量。上式给出的是单频连续波雷达的运动目标基带回波模型，频谱分析后根据谱峰位置可以测算多普勒频移，进而得到目标径向速度。

研讨：雷达发射脉冲串波形如何实现测速？信号参数对测速效果有何影响？

7.2 实施进程

本实验过程是一个循序渐进的实践过程，需要经历理论学习与分析、在硬件平台完成信号通过系统得到输出、更改参数、现场调试、观测存储，开展综合设计与分析。在具体实验教学中，应该在以下几个方面加强对学生的引导：

（1）实验之前掌握周期信号的分解与合成，以及傅里叶级数展开和傅里叶变换理论，熟悉半波像对称信号的偶次谐波为 0 的特点，以及不同周期矩形脉冲信号各次谐波的理论值。

（2）在开展硬件实验前，先利用自研的“《信号与系统》周期信号频谱分析演示软件”完成“信号的合成”、“周期矩形脉冲信号时域参数对频谱的影响”、“电话按键音的时域、频域波形分析”。

（3）对于硬件实验（因为疫情原因无法开展时，开展等效的仿真实验），首先设定周期信号为方波信号，观测其各次谐波，主要是让学生理解通过滤波器可以得到真实存在的谐波成分，根据偶次谐波振幅的测量结果为 0 联系到半波像对称信号的偶次谐波为 0 这一理论知识。接下来更改占空比，将周期方波信号改为周期矩形脉冲信号，观测谐波分量峰峰值的变化，并从理论上分析和解释产生这种变化的原因。将周期方波信号的各次谐波进行合成，感受不同谐波对波形合成的影响，并通过示波器导出合成数据。将周期矩形脉冲信号更改为周期三角波信号，观测各次谐波分量峰峰值的变化，并与周期方波进行对比，从理论上解释这种变化的原因。

（4）脉冲雷达测速综合实验以数值仿真为主，首先建立回波模型，其次产生发射波形和回波，之后对发射波形和回波进行频谱分析，根据频谱测速，并分析雷达脉冲串波形时域参数对频谱和测速的影响。此外，（含有限个脉冲的）脉冲串信号的合成和分解采用硬件实验。

（5）面向雷达测速的脉冲串波形设计采用仿真实验。根据给定的最大不模糊速度，设计脉冲重复频率。多普勒模糊条件下，设计参差重频波形和不模糊测速方法。

8. 实验原理及方案

8.1 周期信号的频谱分析

（1）实验原理

时域上的周期信号，只要满足狄利赫勒（Dirichlet）条件，就可以将其展开为三角函数形式的傅里叶级数。即：

$$ x ( t ) = a _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( a _ { k } \cos k \omega _ { 0 } t + b _ { k } \sin k \omega _ { 0 } t ) $$

其中， 0 $\omega _ { 0 } = \frac { 2 \pi } { T }$ 称为基本角频率， $a _ { 0 } = \frac { 1 } { T } \int _ { T } x ( t ) d t$ 为信号的直流分量， $a _ { k } = \frac { 2 } { T } \int _ { T } x ( t ) \cos ( k \omega _ { 0 } t ) d t$ 为信号的余弦分量幅度， $b _ { k } = \frac { 2 } { T } \int _ { T } x ( t ) \sin ( k \omega _ { 0 } t ) d t$ 为信号的正弦分量幅度。

周期矩形脉冲信号的波形如图 4所示。根据傅里叶级数展开的公式计算可得：

$$ a _ { 0 } = \frac { 1 } { T } \int _ { - \frac { T } { 2 } } ^ { \frac { T } { 2 } } x ( t ) d t = \frac { 1 } { T } \int _ { - \frac { \tau } { 2 } } ^ { \frac { \tau } { 2 } } E d t = \frac { E \tau } { T } $$

$$ a _ { k } = \frac { 2 } { T } \int _ { - \frac { T } { 2 } } ^ { \frac { T } { 2 } } x ( t ) \cos ( k \omega _ { 0 } t ) d t = \frac { 2 } { T } \int _ { - \frac { \tau } { 2 } } ^ { \frac { \tau } { 2 } } E \cos ( k \omega _ { 0 } t ) d t = \frac { E \tau } { k \pi } \mathrm { s i n } \Bigg ( \frac { k \omega _ { 0 } \tau } { 2 } \Bigg ) = \frac { 2 E \tau } { T } S a \Bigg ( \frac { k \omega _ { 0 } \tau } { 2 } \Bigg ) $$

$$ b _ { k } = \frac { 2 } { T } \int _ { - \frac { T } { 2 } } ^ { \frac { T } { 2 } } x ( t ) \sin ( k \omega _ { 0 } t ) d t = \frac { 2 } { T } \int _ { - \frac { \tau } { 2 } } ^ { \frac { \tau } { 2 } } E \sin ( k \omega _ { 0 } t ) d t = 0 $$

因此周期矩形信号可以展开为如下形式：

$$ x ( t ) = \frac { E \tau } { T } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 E \tau } { T } S a \Bigg ( \frac { k \omega _ { 0 } \tau } { 2 } \Bigg ) \cos k \omega _ { 0 } t $$

图4 周期矩形脉冲信号

周期三角波信号如图 5所示。当 $\tau = \frac { T } { 2 }$ 时，按照类似的方法，可以得出其傅里叶级数展开式为：

$$ x ( t ) = \frac { E } { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } E S a ^ { 2 } \frac { k \pi } { 2 } \mathrm { c o s } ( k \omega _ { 0 } t ) $$

图5 周期三角波信号

（2）实验方案

周期信号分解与合成实验（软件仿真）的主界面如图6所示，图 7~图9分别是拟开展的三个实验的界面。通过设置参数可以观察信号分解和合成效果，对结果进行分析。

图6 周期信号频谱分析演示软件主界面

图7 信号合成实验界面

图8 时域参数影响分析界面
图 9 电话按键音时域、频域分析界面

周期信号分解与合成实验（硬件实验）的流程如图 10 所示。

图10 周期信号分解与合成流程图

对于周期信号的分解，可借助滤波器完成。当仅对信号的某些分量感兴趣时，可以利用选频滤波器提取需要的部分，将其它部分滤除。数字滤波器与模拟滤波器相比具有许多优点，如灵活性高、精度高和稳定性高、体积小、性能高、便于实现等。因此建议在教学实验中采用数字滤波器组来实现信号的分解。比如凌特公司生产的LTE-XH03A信号与系统综合实验箱，其“数字信号处理模块”（见图 11）的 DSP 芯片中采用 8 个数字滤波器组来实现信号分解。分别利用一个低通，六个带通和一个高通滤波器得到一次谐波，二至七次谐波，八次及以上谐波。将它们的通带中心频率分别调到$f _ { 0 } , ~ 2 f _ { 0 } , ~ 3 f _ { 0 } , ~ 4 f _ { 0 } , ~ 5 f _ { 0 } , ~ 6 f _ { 0 } , ~ 7 f _ { 0 } , ~ 8 f _ { 0 } \nonumber$ 。当被分解信号同时加到所有滤波器上时，通带中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。

该模块通过 4 位拨码开关来加载不同的固化程序，通过 8 位拨码开关控制哪些谐波参与信号合成，通过 TP8 观测点输出合成波形。

图11 数字信号处理模块

通过调节“信号源与频率计模块”（见图 12）的按键、旋钮，来设置周期信号的类型、占空比、幅度等参数。

图12 信号源与频率计模块

8.2 脉冲雷达测速

（1）实验原理

为了达到高的速度测量精度和速度分辨力，单频连续波雷达的发射信号持续时间很长，目标的回波极可能会在发射信号没有结束之前就返回雷达。为了在接收回波的时候不受发射信号的干扰，大部分雷达采用发射信号结束之后接收机才开机的脉冲工作模式，每个脉冲的持续时间受到需要探测的目标距离的制约，不能太长。为了达到高的速度测量和分辨能力，不能只对一个脉冲进行频谱分析，而是需要对多个脉冲（脉冲串）信号的回波进行频谱分析。雷达脉冲串波形可以建模为周期矩形脉冲信号与门信号相乘（相当于时域截断）。

当雷达发射脉冲串时，目标的回波可以视为采用脉冲串 $P _ { T _ { s } } ( t )$ 对式（2）进行了抽样：

$$ y _ { s } \left( t \right) = A P _ { { T } _ { s } } \left( { t } - { t } _ { 0 } \right) \cdot \cos \left( \omega _ { d } t + \varphi _ { 0 } \right) $$

其中 $P _ { T _ { s } } ( t )$ 是持续时间为 $T$ ，脉冲重复周期为 $T _ { s }$ 的脉冲串，脉冲串中每个脉冲的宽度记为 $\tau$ 。图 13给出了一个脉冲串的波形图和幅度谱。绘图参数 $T = 1 m s$ ， $T _ { s } = 5 0 \mu \mathrm { s }$ ， $\tau = 1 0 \mu \mathrm { s }$ 。

图13 有限时长的周期脉冲串的时域波形和频谱

图 14 给出了两个强度不同的运动目标回波及其频谱。两个目标中，回波较强的一个速度为$1 8 0 \mathrm { m / s }$ ，回波较弱的一个速度为 $7 0 \mathrm { m / s }$ 。为了对比，(a)图中同时给出了连续波雷达的回波（虚线）和脉冲多普勒雷达的回波（实线）。(b)图给出了连续波雷达回波的频谱，根据两个目标的谱峰位置可以解算它们的速度。(c)图给出了脉冲多普勒雷达回波的频谱，并标出了频谱延拓的主值区间。根据主值区间内两个峰值所在的多普勒频率解算的速度分别为 $1 2 0 \mathrm { m / s }$ 和 $7 0 \mathrm { m / s }$ ，此时弱目标的速度被正确地测量，而强目标的测速结果由于抽样频率不够高，发生了测速模糊。

图 14 两个运动目标的雷达回波及其频谱

（2）实验方案

综合性采用 MATLAB 仿真、头歌实践教学平台和实验雷达相结合的方式进行。

1）MATLAB 仿真产生雷达脉冲串发射波形以及单个、多个运动目标的回波，通过频谱分析解算目标个数和运动参数，分析发射信号参数、目标参数对测速性能的影响，对比实验结果和理论结果。

2）在头歌实践教学平台上开展闯关实训（名称：雷达多普勒频移信号的时域抽样实训），在规定时间内完成逐个通过各关卡，并根据完成情况自动计分。

该在线实训是课程组中从科研中抽取出来的雷达运动目标探测实训项目，旨在训练学习者运用课程中的“时域抽样定理”、“频谱分析”等核心知识解决雷达多普勒测速、脉冲重复频率设计等实际问题。从易到难设置关卡，激发学习者的挑战欲和学习动力，在冲关过卡中深化对理论知识的理解、对雷达探测专业背景的了解。

图15 脉冲雷达测速在线实训

3）利用小型雷达开展实验。

图 16 雷达探测实验

9. 实验报告要求

实验报告需要反映以下工作：

（1）必要的实验原理。如傅里叶级数/变换理论、脉冲雷达测速方法、信号分解与合成的硬件实现方法；

（2）仿真实验的实验条件、参数设置、实验结果和结果分析，实验结果和理论结果的对比；

（3）周期信号分解与合成实验过程的介绍；

（4）周期信号各次谐波峰峰值的测量值。注意不同的占空比、不同的信号类型需要设计不同的数据记录表格，并从理论上对实验结果进行分析；

（5）用示波器记录不同谐波参与信号合成的结果，并对实验结果进行分析；

（6）综合性实验、设计性实验的实验条件、参数设置、实验结果和分析、结论，详细的理论分析过程以及相应参数条件下的理论分析结果，实验结果和理论结果的对比；

（7）回答实验思考题。

10.考核要求与方法（限 300 字）

（1）验证性、综合性和设计性实验的赋分比例 7:2:1。其中验证性实验的软件仿真和硬件实验比例 3:7，综合性和设计性实验软件仿真、在线实训和雷达实验分别占比 5:2:3。

（2）软件仿真根据实验报告和程序打分，重点考察仿真的正确性充分性（ $6 0 %$ ）、方法的创新性（ $1 5 %$ ）、分析的合理性（ $1 5 %$ ）和报告撰写的质量（ $1 0 %$ ）。

（3）在线实训采用平台赋分。

（4）硬件实验采取现场答辩考核（ $60 %$ ）和实验报告打分（ $40 %$ ）相结合的方式。考察是否在规定时间内完成实验并记录不同周期信号的谐波峰峰值，以及保存谐波合成结果。雷达探测考察实验过程、实验结果是否正确。现场考核按照优（ $9 0 +$ ）、良（ $8 0 +$ ）、中（ $^ { ( 7 0 + }$ ）、及格（ $6 0 +$ ）、差（ $_ { < 6 0 }$ ）赋分。

11.项目特色或创新（可空缺，限 150 字）

（1）经典实验焕新颜

经典实验与特色应用紧密结合，提升解决实际问题的能力，综合性、设计性实验增强了挑战度。实践表明，学生的学习兴趣得到极大增强。

（2）线上仿真与线下硬件实验相结合

引导学生把握软硬件实现的区别，既深化对理论的理解又提高编程以及工程实践能力。也为疫情下的实验教学开辟新途径。