实验题目：电感量测量方法研究与实现

1. 课程简要信息

课程名称：电路理论 A
课程学时：96学时（实验 24学时）
适用专业：工科电类专业
学生年级：一年级下学期，二年级上学期

2. 实验内容与任务（限 500 字，可与“实验过程及要求”合并）

借助“元件参数测量”、“一阶电路响应”、“功率因数提高”、“RLC 谐振电路”四个基础实验作为本实验前置项目，提供 4 种设计方案测电感量作为实验内容，完成以下基本任务：

1） 伏安法测电感量。选择合适的激励源，通过示波器、毫伏表测量电感实际值，并与仿真数值对比。
2） 通过测量时间常数τ推导电感量对同一 RL 电路实现的零输入、零状态、全响应。零输入、零状态中用示波器直接测量时间常数τ，全响应中运用三要素计算出时间常数τ。进而推导出实际电感量。
3） 使用相量图、功率因数角间接测电感量针对“方案一”存在损耗电阻对电感实际测量的影响，测量相位差以及各器件上的有效值，再用相量图间接测电感量。也可以用功率表测量、功率因数角的方式间接求出电感量。
4） 谐振法测电感量在现有实验室条件下，选择合适的方法寻找RLC 串联电路的谐振频率，并推导求出电感量。

在完成上述基本任务，增加提高任务： $\textcircled{1}$ 由学生完善现有方法或自主选用其它方法（电桥法、万用表电容档测量）测电感量； $\textcircled{2}$ 通过改变铁芯插入线圈深度设置指定电感量。

3. 实验过程及要求（限 300 字）

学生根据“电感测量任务指南”与实际教学进度，查阅资料，结合与本实验相关的其它电路基础实验项目，设计电路并加以实操验证。最终以课堂答辩、讨论、实做的方式，对原有方案进行修正，比对各个设计方案的优劣。

实验要求如下：

1）基本要求：结合 “电路定理（定律）、储能元件、一阶电路、相量法、正弦稳态分析、电路频率响应”等知识，在仿真设计的基础上，使用常用仪器设备直接或间接测电感量。
2） 提高要求：在外部环境，尤其是激励（波形、频率、幅度）发生变化时，选择何种方案能够更准确、更快速测电感量。
3） 拓展要求：分析各方案的适用范围，能对现有方案进行改进，并够延伸出更多、更简便的设计方案。如有可能，为尝试撰写相关实用新型专利打下基础。

4. 相关知识及背景（限 150 字）

以多种方法测电感量这一任务驱动学生深入理解“电路定理（定律）、储能元件、一阶电路、相量法、正弦稳态分析、电路频率响应等”等知识及相关实验项目。通过实际测量加深学生对电子元件其参数、性能指标的认知，从工程视角去分析误差、提高实验效率。

5. 教学目标与目的（限 100 字）

培养学生查阅资料、自主学习、故障分析的能力。能够运用电路定律、公式分析电路状态，理解电感等电子器件的性能指标及应用环境，熟练掌握各种仪器的使用方法及范围。开拓学生思维，提升其设计、构思的能力。

6. 教学设计与引导

本案例主要以学生自学为主教师引导为辅。实验教学重心前移至课前准备阶段。此阶段自开学第一周布置实验任务起，持续 12 周左右，中间将经历数个与之关联的基础实验项目。

如图 6-1 所示，教师通过 QQ 群、学习通平台布置实验任务。通过《电感测量任务指南》，给出完成实验内容的时间节点，提供学生学习的仿真软件、各种视频资源，以及完成任务所需的知识点及教科书的出处。

图 6-1 课前准备阶段

此期间给予学生充分自主的学习空间，在“指南”的协助下，主动查阅资料、学习仿真软件。通过不断学习新的知识内容以及完成基础实验项目，用一个任务将分散的各个知识点有机融合。从任务需求出发，经历“设计——验证——修改——再设计”的过程，逐层加深认识水平与实践能力。

如图 6-2 所示，在课堂实验阶段，针对准备阶段完成的电路设计，选取 $4 ^ { \sim } 5$ 组学生，每组学生采用一种方案进行现场答辩和实操，翻转课堂。师生借用实际案例讨论、分析计方案，引导学生在实验设计中理解电路知识，认知工程实际与理想元件的区别，并通过开放实验验证答辩讨论中的观点，进而完成本次实验。

图 6-2 课堂实验阶段

通过一个案例覆盖大部分电路理论知识，在课堂上，借助答辩、讨论等手段，进行现场考察与总结交流，引导学生在实验中达到以下要求：

a）使用“方案一、伏安法测电感量”。能够掌握储能元件的伏安特性。熟悉信号发生器、毫伏表、示波器等各种常用设备的使用方法。分清理想元件和实际器件的区别。从工程角度选择设备、元件以及测量方式，并为后面的测量方案埋下伏笔。

b）使用“方案二、用时间常数τ间接测电感量”。熟悉一阶时域电路的特性，理解并灵活运用三要素。在实验过程中，从时间常数τ的测量出发，理解零输入、零状态响应。因为时间常数τ测量容易产生肉眼观测不准，所以改变为全响应方式测量，减少误差。

c）使用“方案三、正弦稳态电路分析间接测电感量”。回顾第一种方案，应用相量法规避损耗电阻带来的误差，注意与第二种方案的区别——动态电路与稳态电路的分析。把焦点放在阻抗角和功率因数角上。

d）使用“方案四、谐振法间接测电感量”。此方案的重心是谐振频率，因此要理解谐振频率概念，认清谐振频率对电源、电路的影响。

e）根据四种方案的对比，分析各个方案误差产生原因、适用范围、提升改进方法，并总结实验完成情况。

f）适当超出现有教学大纲要求，提出“激励为直流，如果流过电感的电流较大时会不会有磁饱和问题，导致电感量减少”、“在学习模拟电子技术、数字电子技术的基础上，可以结合文氏桥作为激励源，使用集成运放放大相关电压，应用单片机的计算出电感量”。

7. 实验原理及方案

本实验案例随着教学进度的推进而逐渐展开，选用四种与理论教学、基础实验对应的设计方案完成实验任务。

表 7-1

具体实现如下：

7.1 方案一、从伏安特性出发测电感

如图 7-1 所示，该方案分三步骤完成：

图 7-1、伏安特性测量原理步骤

第一步：从理想元件特性出发，直接用毫伏表测量电感两端电压 $U _ { L }$ 以及流经电流 $I ,$ ，通过 $\begin{array} { r } { I = \frac { U _ { \mathrm { R } } } { R } } \end{array}$ ， $X _ { \mathrm { L } } = { \frac { { \dot { U _ { \mathrm { L } } } } } { \dot { I } } } = j \omega L$ 求出电感量。

第二步：如图7-2，考虑到实际电感可以等效为一个理想电感与损耗电阻的串联再与分布电容并联的结构。而低频情况下电容相当于开路，其损耗电阻 $\mathrm { r }$ 可以用万用表测出。

因此，测量实际电感两端电压 $U _ { \mathrm { r L } }$ 与流过电感电流 $I _ { \imath }$ ，通过$\begin{array} { r } { | Z | = \frac { U _ { \mathrm { r L } } } { I } , | X _ { \mathrm { L } } | = \sqrt { Z ^ { 2 } - r ^ { 2 } } = \omega L } \end{array}$ 两个式子求出电感量。

图 7-2 实际电感等效模型

第三步：从工程角度深入理解实际电感。使用 RLC 测试仪实测发现随信号源频率增大，损耗电

阻也同时增大，因此为保证电感量测量精度，其测量就不能从损耗电阻推导求得。

图 7-3

为避免损耗电阻对测量电感产生的误差，当教学进度推进到相量分析、正弦稳态电路后，再次使用示波器对其重新测量。详情见“方案三、正弦稳态电路分析”。

7.2 方案二、用时间常数??间接测电感量

在掌握“方案一”的基础上，换一个思路，从 $\begin{array} { r } { . \tau = \frac { L } { R } } \end{array}$ 出发，分析问题。

如图 7-4 所示，实际电感由损耗电阻 $\mathrm { r }$ 与理想电感 L 串联，实际电感上的电压为 $u _ { \mathrm { r L } }$ ，电阻 R 上的电压为 $u _ { \mathrm { R } }$ 。

图 7-4 一阶 RL 电路

通过“方案一”的学习，知道在实际测量中损耗电阻对实际电感有影响，因此本方案中以流过整个回路的电流为测量对象，使用两种方法间接测电感量。

方法一、零输入、零状态响应推导

考 虑 电 感电 流 在零 输入 响应： $t = \tau$ ， $\begin{array} { r } { i ( \tau ) = \frac { u _ { \mathrm { R } } ( \tau ) } { R } = } \end{array}$ 0.368 ???? ；零状态响应： $t = \tau$ ， $\begin{array} { r } { i ( \tau ) = \frac { u _ { \mathrm { R } } ( \tau ) } { R } = 0 . 6 3 2 \frac { U _ { \mathrm { R } } } { R } , } \end{array}$ 。以此为出发可以用示波器观察电阻 R 上 $\displaystyle \boldsymbol { \mathcal { u } } _ { R }$ 波形，测量时间常数 $\tau$ ，再根据 $\begin{array} { r } { \tau = \frac { L } { R } } \end{array}$ 推导电感。

完成此方法，要能够预估电感量大小，激励源选择合适的周期，保证方波的半个周期要大于$3 \tau { \sim } 5 \tau$ 。如果损耗电阻 $r \ll R$ 也可以通过观测实际电感上 $\mathcal { u } _ { \mathrm { r L } }$ 电压波形。但为了保证精度，不建议选取。

图 7-5 一阶电路零输入、零状态仿真图与实测图

图 7-5 一阶电路全响应仿真图与实测图

用示波器观测电阻 R 上电压波形，根据全响应公式可以推导：

$$ L = - \frac { R t } { \ln \left( \frac { u _ { R } ( t ) - u _ { R } ( \infty ) } { u _ { R } ( 0 _ { + } ) - u _ { R } ( \infty ) } \right) } $$

完成该实验案例需要充分理解初值 $u _ { R } ( 0 _ { + } )$ 与稳态值 $. u _ { R } ( \infty )$ ，并懂得在实际中如何选取。

如图所示，选取光标 1 所在位置为初始值即：波峰，此时为零输入，对应稳态值 $u _ { R } ( \infty ) =$ 0??，经过 $\triangle \mathrm { t = T } / 2 , u _ { R } ( \triangle t )$ 达到波谷。

同理，选取光标 2 位置为初始值，亦可以进行分析推导。

7.3 方案三、用正弦稳态电路分析间接测电感量

“方案二”使用直流激励源分析 RL 电路的动态过程。现在，结合“方案一”中第三步中提到情况，在正弦稳态情况下用相量图分析电路，测电感量：

方法一,从阻抗角 着手：

用示波器测量激励源电压U及电阻R上电压UR有效值。

在示波器上用激励源电压U波形减去电阻电压 $\mathrm { U } _ { \mathrm { R } }$ 波形，得到实际电感上 $\mathrm { U } _ { \mathrm { r } \mathrm { L } }$ 电压波形。

观测 $\mathrm { U } _ { \mathrm { r } \mathrm { L } }$ 与 $\mathrm { U } _ { \mathrm { R } }$ 波形相位差∆t。根据右侧相量图求 L：

图 7-6 接线图

$$ \begin{array} { r } { \because \theta = { \frac { \Delta t } { T } } \times 3 6 0 ^ { \circ } , { \cal Z } = r + j \omega L , \tan \theta = { \frac { \omega L } { r } } , I = { \frac { U _ { \mathrm { R } } } { R } } } \end{array} $$

$$ \therefore L = { \frac { U _ { \mathrm { r L } } R } { 2 \pi f U _ { \mathrm { R } } { \sqrt { 1 + { \frac { 1 } { ( \tan \theta ) ^ { 2 } } } } } } } $$

方法二，从功率因数角 $\varphi$ 着手：

直接用示波器测量激励源电压 $U _ { \mathbf { \lambda } }$ 、电阻 R上电压的波形及有效值。测 $U$ 与 $U _ { \mathrm { R } }$ 波形相位差 $\Delta { \sf t }$ 。根据右侧相量图求L：

图7-7相量图

$$ \because \varphi = \frac { \Delta t } { T } \times 3 6 0 ^ { \circ } , U _ { L } = U s i n \varphi , I = \frac { U _ { \mathrm { R } } } { R } $$

$$ \therefore X _ { \mathrm { { L } } } = { \frac { U _ { \mathrm { { L } } } } { I } } = { \frac { U \cdot R \cdot s i n \varphi } { U _ { \mathrm { { R } } } } } = \ \omega L $$

方法三、直接用功率表（多功能电力仪表）测功率因数????????或功率因数角 $\varphi$ 测量激励源电压 $U _ { \mathbf { \lambda } }$ 、流过RL电路的电流 $I$ 和功率因数角 $\varphi$ ，使用下面公式进行

$$ X _ { L } = \frac { U _ { \mathrm { L } } } { I } = \frac { U \cdot R \cdot s i n \varphi } { U _ { R } } = \omega L $$

也可以考虑到功率因数角与阻抗角相等。使用下式求解：

$$ X _ { \mathrm { { L } } } = Z s i n \varphi = { \frac { U \cdot s i n \varphi } { I } } = \omega L $$

7.4 方案四、谐振法测电感量

利用信号发生器、示波器，找到 RLC 电路中的谐振频率 $f _ { 0 }$ 。

$$ f _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { L C } } $$

$$ L = { \frac { 1 } { ( 2 \pi f _ { 0 } ) ^ { 2 } C } } $$

此方案的需要注意，在RLC 串联电路中，调节信号发生器频率时，其输出电压有可能也会发生变化，寻找谐振频率 $f _ { 0 }$ 不能依赖于理论知识“当电阻 R 上电压最大时为谐振频率”。

解决此问题：

1）直接观察波形相位关系。

2）引导学生从工程角度考虑问题，选择一个合适的电阻R，让其远远大于信号发生器内阻抗（一般为 $5 0 \Omega$ ），再观测电阻R上电压。

3）如果电阻R 与信号发生器内阻抗 r差距不大，调节信号发生器频率，信号发生器输出端电压也会随之变化。寻找谐振频率则需要换个思路。如图所示，谐振发生时，RLC串联外电路等效阻抗 Z 最小。内阻抗 r 与外电路等效阻抗 Z 对信号发生器电压进行分压。此时，用毫伏表观测信号发生器实际输出电压最小。

图 $7 – 8 \ \mathrm { R L C }$ 串联谐振

4）借助硬木课堂提供的扫频仪快速寻找谐振频率。

7.6 总结

7.6.1．其它方法：

1）灵活应用对偶原理，使用数字万用表电容档测量电感。普通数字万用表测量电容时，使用文氏内部激励源频率 $\mathrm { f { = } } 4 0 0 \mathrm { H z }$ ，

$$ \begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \omega \ d { } \omega = \frac { 1 } { \omega L } \quad \ d { } \mathrm { L } = \ d { } ^ { 1 } \big / \frac { \ d } { \omega ^ { 2 } \ d { C } } } \end{array} } \end{array} $$

2）使用交流电桥法，但受制于元器件，不利于实际操作。

7.6.2．总结

对现有各方案从工程角度进行对比，分析误差产生的原因，考虑测量效率、测量环境以及计算量，有选择有针对的理解、掌握各个方案。

表 7-2

8. 教学实施进程

如图8-1，电感测量实验甘特图反应了本案例的实验教学实施进程七个步骤，其中第 1、2、3步是课前预习自学，属于课前准备阶段；第 4、5 步是课堂实验阶段；第 6、7步为报告处理阶段。

图 8-1 电感测量实验进程甘特图

具体说明如下：

8.1.课前准备阶段

1）任务发布

学期第一周内，教师通过雨课堂、学习通、QQ 群等工具发布任务内容。让学生明确本实验的进

度、考核标准。为学生提供部分预习资料，指出完成实验的预习方向。

2）电路设计

自实验任务发布至实验报告撰写之前都是学生电路设计阶段。该阶段是主要以学生设计电路为主：自行查阅资料、设计仿真电路，并在相关基础实验中验证设计思路，再通过答辩、讨论等交流想法，再次修订设计，再次利用开放实验进行设计验证。最终，完善设计，并对多个设计方案进行对比分析。

图 8-2 电路设计流程图

3）基础实验中方案实现及验证

任务发布阶段中给出了四种测量电感的理论知识点，学生在此基础上查阅资料、设计电路，并通过“元件参数测量”、“一阶电路响应”、“功率因数提高”、“RLC 谐振电路”四个基础实验项目深入理解相关知识。再结合实验中所测量数据与测量方法，实现电感参数的测量。在“设计——实验—再设计”不断循环过程中，逐渐掌握理论知识，分析对比各个测量方案的优缺点。

8.2.课堂实验阶段

1）答辩及讨论

该阶段由教师引导同学，每种设计方案选取一组同学进行答辩（包括实际电路的搭建），并针对该方案进行分析讨论。重点在于：

图 8-3 答辩、讨论重点

2）开放实验

在开放实验时间内，学生对自己设计的方案重新修订，并通过实验进行验证。

8.3.报告处理阶段

学生根据任务发布要求与实验实作，撰写实验报告。教师结合课堂上答辩情况以及报告撰写情况，整理存在的问题，通过 QQ群、学习通、学堂在线等平台将问题及时反馈给同学。

9. 实验报告要求

学生的实验报告将注重关注其资料查阅与自学情况、理论知识掌握层度、实际动手能力、数据分析水平等方面，具体要求如下：

图 9-1 实验报告要求

10.考核要求与方法（限 300 字）

本案例用百分制进行评分。根据“8.教学实施进程” 中的“电感测量实验进程甘特图”，本案例按时间节点进行考核，具体如下：

1） 课前准备阶段（40 分）：

该阶段以鼓励学生自主学习，允许犯错误。严格按照时间节点对方案设计、电路设计进行考核。

2） 课堂实验阶段（40 分）：

利用课堂上的展示演讲反应学生对掌握知识与技能的熟练程度，并根据现场实验中故障排查及分析，实验完成的效率进行考评。

3） 报告验收（20 分）：

从报告内容完整性、准确性进行考核，关注对数据的处理与误差的分析，并能从不同方案中研究、总结出规律。

11.项目特色或创新（可空缺，限 150 字）

1）用一个实验任务把各孤立的实验项目联系起来，逐层、反复加深对知识的理解与运用。
2）从工程的视角引导学生根据需求选择测量方案。既要考虑激励源波形、频率、幅度对测量的影响，也要关注测量效率，更要符合实际需求。
3）采用不同的切入点（如：电感的 VCR、动态特性、阻抗角与功率因数角、谐振频率等）对同一测量对象进行研究。

参赛信息表