实验题目：示波器上的万花尺

1. 课程简要信息

课程名称：电子电路与系统基础实验

课程学时：64 学时

项目学时：课内9学时

适用专业：电子信息大类

学生年级：大二秋季学期

2. 实验内容与任务

1. 对万花尺绘制的内旋轮线和外旋轮线进行数学建模，所建立的模型应当适用于在示波器上显示万花尺曲线。

2. 根据数学模型，设计电路实现框图，并进行原理仿真与验证。

3. 综合利用前期所完成的“二极管的特性与应用”、“运算放大器的应用”、“RC电路的特性与应用”、“波形产生电路”的实验内容，完成万花尺波形产生电路的电路设计，并实现验证。

4. 学有余力的同学，可以尝试应用“函数逼近”、“滤波器综合理论”的数学工具和电路理论设计“宽带正交移相电路”，也可以利用数字分频电路和有源滤波器实现相干的两路正弦波形，用这些电路和方法改进前面电路图案变形、旋转等不足。

3. 实验过程及要求

该实验是系列实验中的最后一个实验，融合了运算放大器、RC 电路、波形产生电路等多方面的内容，是对学生的电路设计能力、以及实验技能等方面的检验。实验电路中每一个单元都在前期的课程中有所涉及。学生实验前，应当做好充分的复习和预习工作。

在完成实验的过程中，着重理解单元电路和系统之间的关系，要充分考虑电路在级联时，前后级之间的相互作用。将电路结构、功能和在系统中所起的作用有机的联系起来。思考“自顶向下”和“自底向上”两个设计思路在设计过程中的体现。

两人一组合作完成实验，注意在实验过程中培养沟通协作和时间规划的能力。

4. 相关知识及背景

这是一个运用基础电子电路实现给定波形信号的实验，完成实验需要综合运用运算放大器、RC 电路、波形产生电路等相关知识。同时涉及数学建模、电路优化方法、仪器仪表使用、电路测量等多方面的技能。

5. 实验环境条件

仪器设备：实验室电源、示波器、函数信号发生器

软件：Matlab、LTSpice 等仿真软件

主要元器件：通用运放，电阻，电容，微调电阻，双联电位器

6. 教学目标与目的

该实验是系列实验中的最后一个总结考核性质的实验。是对学生的电路设计能力、以及实验技能等方面的检验，考察学生是否具备运用所学知识解决实际问题的能力。鼓励学生将数学工具自然应用到电路的设计与优化过程中，勇于挑战，培养学生创新能力。

7. 教学设计与实施进程

1. 系统化、连贯化的基础实验课程

目前电路实验的学时受到较大的约束，如何在有限的学时内，使学生得到充分的锻炼是教学设计的关键。实验的趣味性是一个重要的考量因素，吸引学生主动参与实验，同时在课程内容设计上可以将知识点独立的单元实验连成串，以示波器上显示万花尺图案为目标，压缩重复性的内容，减小学生负担。围绕有趣味性的示波器上的万花尺设计，在前期已经完成的无源器件、基础运算放大器电路、移相器、振荡器等单元电路的验证性实验与研究设计的基础上完成的。

2. 依据工程实际进行系统设计

考虑系统的物理约束。在数学上，旋轮线的形状只与两个信号的频率之比有关，和频率的绝对值无关。但是实际中，要考虑电路实现的可行性和显示单元的物理特性。如频率过低，示波器上图案就会闪烁；频率过高，实际电路的非理想因素将使图案变形。如果使用激光振镜作为显示器件，驱动信号的频率更有严格要求。

要是图案不旋转，除了设定粗调、微调两个电位器，方便调整振荡器频率以外，振荡器频率稳定度也是关键因素。要提高频率稳定性，除了选择较低的工作频率以外，对于电子元件的温度稳定性也有较高的要求。如果学生使用普通的 II 类铁电材料的瓷片电容作为文氏电路振荡元件的话，由于电容器很高的温度系数，图案是很不容易稳定的。在经济可行的前提下，合适的电容材质为有机薄膜电容，如涤纶电容、聚丙烯电容等。

3. 设计内容可拓展、有开放性

即使充分考虑上述问题，学生会发现完成的电路仍然存在改变频率时，波形变形、波形旋转等问题。因此，鼓励学有余力的同学，尝试应用“函数逼近”、“滤波器综合理论”的数学工具和电路理论设计“宽带正交移相电路”，或者利用数字分频电路和有源滤波器或者用直接数字合成、“注入锁定”等方法来实现相干的两路正弦波形。

8. 实验原理及方案

1. 实验背景和数学建模

万花尺也叫繁花曲线规，是一种绘图玩具，如图 1 所示，由外图板及内圆图板两部分组成。内圆图板像一个齿轮，在不同半径的位置设有许多笔洞，外图板有一类似内齿轮的大型圆孔。内圆板放在外图板中，通过齿轮啮合循着圆周转动，以铅笔或圆珠笔从笔洞可以画出像花朵一样规则图案，这种图案在数学上称为内旋轮线，其曲线方程如式(1)所示。

图 1 万花尺和内旋轮线

$$ \begin{array} { r } { { x ( t ) = ( 1 - d ) \cos ( 2 \pi f _ { 1 } t ) + d \sin ( 2 \pi f _ { 2 } t ) } \ { y ( t ) = ( 1 - d ) \sin ( 2 \pi f _ { 1 } t ) + d \cos ( 2 \pi f _ { 2 } t ) } \end{array} $$

不同的参数决定了曲线不同的形状，图 2 和 3 给出了不同的参数下，各种曲线形状。

图2 不同的 $d$ 值下的曲线形状

图3 不同的 $f _ { 1 } / f _ { 2 }$ 比值下的曲线形状

2. 电路实现

根据旋轮线的参数方程，生成相应模拟信号，送入示波器以 XY 模式进行显示，为了避免示波器上波形闪烁并减小器件的非理想因素影响，f1 和 f2 的频率一般取在 $3 0 0 \mathsf { H } z \sim 3 \mathsf { k H } z$ 之间。一种可行的方案实现框图如图 4 所示，用两个独立的正弦振荡器产生频率 f1 和 f2的两个正弦波，送入移相器产生两组相差为 90 度的信号 $\scriptstyle { \cos ( 2 \pi f _ { 1 } t ) }$ 和 $\sin ( 2 \pi f _ { 1 } t )$ ，最后电阻求和或运算放大器求和产生所要求的信号。

图4万花尺电路实现框图

设计制作振荡器时，所用的电容应当用温度系数比较小的电容器，比如涤纶电容。如果使用文氏电桥振荡器，改变频率时，可使用双联电位器同步改变两个电阻的大小。

3. 设计要求

（1）设定 f1 、 f2 和 d 的值，使用计算机绘图软件，按式(1)绘制内旋轮线图。设 f1 与f2 的频率之比 $\mathsf { m } / \mathsf { n }$ ，其中 $\mathsf { m }$ 和 $\mathsf { n }$ 为正整数，要求 $\min ( \boldsymbol { \mathsf { m } } , \boldsymbol { \mathsf { n } } ) \geq 2$ 。设计实现电路，在示波器上显示此旋轮线的图形；

（2）示波器上图形美观，与设计一致，不闪烁，旋转速度小于每秒一圈；

（3）提高要求：图形不旋转；实现宽带 90 度“等幅”移相器，图形变化时不用特别调节幅度。

如果图形不旋转，则必须要求两个振荡器的频率必须严格为简单整数比。一种方式是使用同一个频率源分频得到，分频器用数字电路中的计数器来实现。两个分频器产生的两个矩形波，再通过带通滤波器选出基波分量，获得正弦波。使用“注入锁定”也可以实现同样功能。

“宽带移相器的设计”涉及到“滤波器综合”等电路理论和“函数逼近”等数学知识，设计、分析和装调的难度较高。受限于实验课程内容，这里不做展开。有兴趣的同学可以查阅参考相关材料。

4. 典型实验效果

图 5 (a)(c)两图为示波器上显示效果，(b)(d)两图为激光振镜显示效果

学生体会：

“这次实验我们收获很大，……，我们在老师帮助下，也自己尝试设计了新的电路结

构。设计是对知识的综合利用，是一种提高要求。学会应用学到的知识，可能比得到新知识要更难得，我们会一生受用。”

9. 实验报告要求

（1）实验报告中，要体现“原理分析-数学上的计算-电路上的设计-电路分析（理论计算或者仿真）-电路实现与验证”这个流程。

（2）要展示出电路实现的波形和数学上计算得到的曲线要一致。分析、设计、测试验证部分可以适当展开。

（3）报告中的电路图要准确清晰易读，元件值要清楚标明，和实际电路相符。

10. 考核要求与方法

根据实验完成的效果和实验报告的两部分来评定成绩。

1. 实验完成效果（占 $50 %$ ）

2. 实验报告部分（占 $50 %$ ）

11. 项目特色或创新

这个实验体系致力于使学生建立系统概念，提高学生系统认识和系统整合能力：将电子电路与系统基础实验课程分解任务，随理论课知识点的推进逐个完成组成系统的各个模块。将前面实验的电路和结果在后面实验中得以延展应用，压缩重复性的内容，减小学生负担，同时可以复习已有内容，使知识连贯起来，并充分感受系统结构的构建过程。